اندیشه های زیبا در هزار و یک مساله ریاضی

(78) ..............................................................................

andishe-riazi — Tue, 01 Jul 2008 15:00:05 GMT

مسئله ی هفته: اندازه ی دقیق اضلاع و محیط یک مثلث

در شکل زیر ارتفاع، نیمساز و میانه ی صادر شده از یک راس مثلث داده شده است، اندازه ی دقیق اضلاع مثلث و در نهایت اندازه ی دقیق محیط آنرا در ساده ترین شکل خود محاسبه کنید.

مسئله را در حالت کلی هم حل نمایید، یعنی با داشتن ارتفاع، نیمساز و میانه، فرمولی پیدا کنید در ساده ترین شکل خود که محیط مثلث را بر حسب این سه کمیت به دست دهد:

راهنمایی ــ جواب ــ حل

مسائل گذشته

دوستان عزیز! به واسطه ی فرارسیدن تعطیلات تابستانی، این وبلاگ به مدت دو ماه یعنی تا اوائل سپتامبر به روز نخواهد شد. برای همه ی دوستان تعطیلاتی خوش، لذت بخش، خاطره انگیز و همراه با آرامش آرزو دارم. من در این دو ماه، مسافرت های زیاد و طول و تفصیل داری خواهم کرد. هر جا دسترسی به کامپیوتر و کیبورد فارسی داشته باشم چند دقیقه ای خدمت تان خواهم آمد و سلامی خواهم کرد و رسید نظرهای تان را به اطلاع تان خواهم رساند، ولی گفتگوهای بلند تر را بگذاریم برای بعد از فصل تابستان. اگر در این مدت به مسئله یا معمای جالبی برخورد کردید که فکر می کنید مناسب برای این وبلاگ باشد لطف کرده و آنرا (و راه حل خودتان را) در دو ایمیل جداگانه برای من بفرستید. حتما" آنها را بررسی خواهم نمود و تر تیب اثر خواهم داد. روز و روزگار بر شما خوش.

(77) معمای میز و صندلی ها ........................................................

andishe-riazi — Wed, 25 Jun 2008 04:05:05 GMT

مسئله ی هفته: معمای میز و صندلی ها

دو شریک یک کارخانه ی بزرگ چوب بری راه می اندازند تا در آنجا میز و صندلی بسازند. این کارخانه شبانه روزی است و در سه شیفت هشت ساعته کار میکند. هنوز شروع به کار نکرده بودند که بین آقایان اختلاف می افتد! اختلاف شان هم بر سر تعداد میز و صندلی ها بود: یکی میگفت باید اینقدر از این و آنقدر از آن بسازیم، دیگری میگفت نه، باید آنقدر از این و اینقدر از آن بسازیم!

تمام ماشین هایی که این دو شریک در کارخانه شان داشتند 34 دستگاه بود به شرح زیر:

1) ده دستگاه اره برقی

2) شش دستگاه خراطی

3) هجده دستگاه سنباده زنی

هر صندلی تا ساخته شود، 10 دقیقه زیر اره برقی میرود، 5 دقیقه زیر خراطی و 5 دقیقه هم زیر سنباده زنی. هر میز هم 5 دقیقه زیر اره برقی میرود، 5 دقیقه زیر خراطی و 20 دقیقه هم زیر دستگاه سنباده زنی.

اگر این دو شریک اختلاف شان را پیش شما می آوردند تا شما آنرا رفع کنید چه پیشنهادی به آنها میکردید؟ آنها در هر شبانه روز باید چند میز و چند صندلی بسازند تا بهترین استفاده را از این کارخانه ببرند؟

هر صندلی در بازار 10 دلار و هر میز 20 دلار قیمت دارد. ضمنا" میز و صندلی ها جداگانه هم فروخته میشوند، یعنی لازم نیست که مثلا" یک میز با شش صندلی فروخته شود.

راهنمایی ــ جواب ــ حل

مسائل گذشته

(77) حل

andishe-riazi — Sun, 22 Jun 2008 20:28:05 GMT

حل ۷۷: واحد زمان را ساعت میگیریم و فرض میکنیم در این کارخانه در هر ساعت x عدد صندلی و y عدد میز ساخته شود.

ده دستگاه اره برقی در یک ساعت معادل 600 دقیقه کار میدهند( 10x60=600) و چون هر صندلی 10 دقیقه و هر میز 5 دقیقه وقت یک اره را میگیرند بنابراین نامعادله ی (1) باید صادق باشد:

(1)............... 10x + 5y < or = 600

به طریق مشابه، شش دستگاه خراطی مجموعا" در یک ساعت معادل 360 دقیقه کار میدهند و چون هر میز و هر صندلی هر کدام جداگانه 5 دقیقه از وقت این ماشین ها را میگیرند بنابراین نامعادله ی (2) هم باید صادق باشد:

(2)................. 5x + 5y < or = 360

با استدلالی مشابه نامعادله ی(3) هم در مورد هجده دستگاه سنباده زنی نوشته میشود:

(3).............. 5x + 20y < or = 1080

دو نامعادله ی دیگر هم داریم که بسیار بدیهی اند:

(4)..................................... x > 0

(5)......................................0 < y

نمودار ترسیمی این پنج نا معادله، پنج ضلعی OABCDO را به دست میدهد که تمام نقاط مساحت و محیط آن جواب های قابل قبول مسئله اند و البته بهترین نقطه، نقطــــه ی B است با مختصات ( 48 میز و 24 صندلی). با توجه به قیمت های میز و صندلی، واضح است که در این مختصات، ساعتی 1200 دلار به دست می آید که بیشترین مبلغ ممکن است. در سایر نقاط بر حسب تعداد میز و صندلی ها، عایدی کمتر از این خواهد بود.

پس در این کارخانه باید روزانه ۵۷۶ صندلی و ۱۱۵۲ میز ساخته شود تا مبلغ ۲۸۸۰۰ دلار به دست آید که حد اکثر مقدار ممکن است. (نمودار بالا به مقیاس کشیده نشده است)

این هم راه حل آقای معصومی که امروز به دست من رسید. با تشکر از این دوست عزیز.

(77) جواب

andishe-riazi — Sun, 22 Jun 2008 20:27:05 GMT

جواب ۷۷:

روزانه ۵۷۶ صندلی و ۱۱۵۲ میز باید ساخته شود تا ۲۸۸۰۰ دلار به دست آید.

(77) راهنمایی

andishe-riazi — Sun, 22 Jun 2008 20:27:05 GMT

فرض کنید که تعداد میز و صندلی هایی که در واحد زمان، مثلا" در ساعت یا در روز ساخته میشوند برابر Y و X باشد. آنگاه سه نامعادله بنویسید یکی برای دستگاه های اره برقی، یکی برای دستگاه های خراطی و سومی هم برای دستگاه های سنباده زنی. این نامعادلات را با هم حل کنید.

(76) معمای میوه فروش لب جاده....................................................

andishe-riazi — Sun, 15 Jun 2008 22:01:05 GMT

مسئله ی هفته : معمای میوه فروش لب جاده

باغداری سه تن میوه از باغ خود می چیند و آنها را برای فروش به لب جاده می آورد. تولید این میوه ها پای باغدار کیلویی دو دلار تمام شده است ولی او مطمئن است که میتواند آنها را کیلویی چهار دلار بفروشد.

او در روز اول یک سوم میوه ها را میفروشد و در روز دوم بقیه ی آنها را. اما در روز دوم بواسطه ی گرمای هوا، میوه ها مقداری از آب خود را از دست داده و سبک تر میشوند. اگر بدانیم که میوه ی تازه ۹۹ در صد آب دارد و مانده که شد ۹۶ درصد، در اینصورت معلوم کنید که این باغدار در این معامله چقدر سود برده است.

این معما را دوست نوجوان ما حسین آقا مدتی پیش مطرح کرد و دوست دیگری هم جواب ایشان را داد. این هفته من در معما کمی دست برده و آنرا اندکی تغییر دادم تا تازگی پیدا کند.

جواب ــ حل

مسائل گذشته

(76) حل

andishe-riazi — Sun, 15 Jun 2008 20:07:05 GMT

حل ۷۶ : میوه فروش لب جاده

مخارج تولید سه تن میوه از قرار کیلویی دو دلار میشود شش هزار دلار. پس تولید این میوه ها پای باغدار ۶۰۰۰ دلار خرج برداشته است.

او روز اول یک تن را میفروشد از قرار کیلویی چهار دلار، پس ۴۰۰۰ دلار بدست می آورد. دو تن باقی مانده همچنان تازه است و ۹۹ در صد آب دارد( یعنی از ۲۰۰۰kg میوه باقی مانده، ۱۹۸۰kg آب است و ۲۰kg مواد جامد)

روز دوم در اثر گرما میوه ها مقداری آب خود را از دست میدهند و سبک تر میشوند. فرض کنیم وزن آنها کاهش پیدا میکند به x کیلوگرم (x < 2000 kg ). بدیهی است از این x کیلوگرم میوه، 20kg وزن جامدات و (x - 20) کیلوگرم وزن آب آن است. اینک نسبت (x - 20) به x را برابر 0.96 قرار میدهیم. از حل این معادله x = 500kg به دست خواهد آمد. این مطلب در شکل زیر نشان داده شده است:

بنابر این در روز دوم، 2000kg میوه تقلیل پیدا میکند به 500kg ، یعنی 1500kg آب از دست میدهد. نکته ی جالب مسئله هم در همین جا است که آدمی وقتی میشنود که میوه ای در اثر حرارت، درصد آبش از ۹۹ به ۹۶ کاهش یافته فکر نمیکند که ممکن است مقدار بسیار قابل توجهی از وزن خود را از دست داده باشد ولی حقیقت امر این است که همین طور شده است!

پس این باغدار 500kg میوه را می فروشد (کیلویی چهار دلار) و 2000 دلار دیگر به دست می آورد که با 4000 دلار روز نخست جمعا" میشود شش هزار دلار. یعنی از نظر مالی نه سود کرده و نه ضرر.

این معما نیز تاییدی است بر موضوع اصلی مقاله ی سوم : "ریاضیات حقیقت را بهتر از ما میبیند و کشف میکند".

با توجه به شکل فوق و توضیحاتی که آمد، اینک میتوان جواب معمای سید عزیز را هم در اینجا داد: باغدار باید در روز دوم ۱۵۰۰ لیتر آب به میوه ها برساند و اگر هر سطل پنج لیتر آب بگیرد پس باید آن را سیصد مرتبه از نهر پر کند و به روی میوه ها بپاشد!

تازه این با فرض آن است که همه ی این ۱۵۰۰ لیتر آب جذب میوه ها شود در حالیکه میدانیم عملا" این چنین نیست. اگر فرض کنیم که در آن هوای گرم، ده درصد آب هر سطل جذب میوه ها شود و نود درصد دیگرش تبخیر گردد یا روی زمین بریزد آنگاه این باغدار زحمتکش باید ۱۵۰۰۰ لیتر آب از نهر بکشد که میشود معادل ۳۰۰۰ سطل. خدا به فریاد کمر این باغدار برسد! سید جان رحمی کن!

(76) جواب

andishe-riazi — Sun, 15 Jun 2008 20:01:05 GMT

جواب ۷۶ :

باغدار از نظر مالی نه سودی برده و نه ضرری کرده، مثل این است که فقط وقتش تلف شده است!

(75) معمای کلاه و روسری بانوان.....................................................

andishe-riazi — Mon, 02 Jun 2008 07:14:05 GMT

مسئله ی هفته: معمای کلاه و روسری بانوان

خانم پر ابتکار بتازگی در یک فروشگاه لباس زنانه با سمت مدیر شروع به کار کرده است.

در اولین روز کار، ایشان یک محموله ی بزرگ لباس را که از خارج وارد شده است دریافت مینماید. وقتی که آنرا باز میکند همه جور لباس زنانه در آن میبیند ولی متاسفانه در لیست پیوست، قیمت لباسها همگی از قلم افتاده بود. او که هیچگونه دسترسی به فرستنده محموله یا صاحب فروشگاه نداشت تا قیمت تک تک لباسها را جویا شود ناچار میشود تا وقتیکه قیمتهای واقعی البسه را دریافت ننموده است خودش ابتکاری به خرج دهد و یک جوری بر روی لباسها قیمت گذاری کند. چند قلم از جنس ها را اینطور قیمت گذاری کرد:

کفش چرمی پاشنه بلند ــــــــــــــــ 32000 تومان

کفش چرمی ساده ــــــــــــــــــــــــ 22000 تومان

کفش کتانی ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 16000 تومان

شلوار ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 10000 تومان

دامن ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 8000 تومان

بر اساس سیستم اختراعی خانم پر ابتکار، ایشان کلاه و روسری را هر کدام چند تومان باید بفروشد؟

راهنمایی ـ جواب

مسائل گذشته

(75) راهنمایی

andishe-riazi — Mon, 02 Jun 2008 03:00:05 GMT

راهنمایی ۷۵:

به حروف فکر کنید!